Author: Park Suhyun

올해는 예년보다 문제들이 쉬워진 느낌이었습니다. 다섯 문제를 전부 풀었습니다.

제 풀이를 공유합니다.

1차 1번 – 친구들

사람이 $N \leq 100\,000$명 있습니다.

번호 $i$인 사람은 수 $D_i$를 갖고 있는데, $i + D_i \leq N$라면 $i$번 사람과 $i + D_i$번 사람은 친구입니다. 또, 친구의 친구는 친구입니다.

이 때, ‘극대 그룹’의 수를 찾아야 합니다.

---

친구 관계를 그래프로 생각해 봅시다. ‘친구의 친구가 친구‘라는 말을 잘 생각해 보면, 어떤 연결 요소 안의 모든 사람들은 서로 친구가 됩니다.

따라서 DFS/BFS 여러 번을 통해 연결 요소의 수를 세 주면 문제의 답이 됩니다. 또는 DSU^{disjoint set union}를 사용해도 됩니다. DFS/BFS를 사용하면 $\mathcal{O}\left(N\right)$만에 해결할 수 있습니다.

저는 DSU를 사용해서 풀었습니다.

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
using ll = long long;
using ld = long double;
using pii = pair<int, int>;

/* [t] [c] [s] */

int dsu[100001];

int find(int u) {
    return dsu[u] == u ? u : (dsu[u] = find(dsu[u]));
}

void merge(int u, int v) {
    u = find(u), v = find(v);
    if (u != v) dsu[v] = u;
}

void solve() {
    int n;
    cin >> n;

    iota(dsu + 1, dsu + 1 + n, 1);

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int x;
        cin >> x;
        if (i + x > n) continue;
        merge(i, i + x);
    }

    set<int> s;
    for (int i = 1; i <= n; i++) s.emplace(find(i));
    cout << s.size() << endl;
}

int main() {
    cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr), ios::sync_with_stdio(false);

#ifdef _SHIFTPSH
    freopen("_run/in.txt", "r", stdin), freopen("_run/out.txt", "w", stdout);
#endif

    int t;
    cin >> t;
    for (int _ = 1; _ <= t; _++) {
        cout << "Case #" << _ << endl;
        solve();
    }

    return 0;
}

DSU를 만들 때 std::iota라는 좋은 함수를 사용하면 쉽고 빠르게 초기화할 수 있습니다. STL에 이런 함수가 있다는 게 좀 의외일까요?

1차 2번 – 이진수

길이가 $n \leq 50\,000$인 비트 문자열 $a$가 있고, 같은 길이의 비트 문자열 $b$를 다음과 같이 정의합니다. $\vee$는 OR 연산입니다.

\[b_i = \left(a_{i-t} \vee a_{i+t}\right)\]

$b$가 주어지면, 사전순으로 제일 앞서는 $a$를 구해야 합니다.

---

약간 헤멜 수 있는 문제였던 것 같습니다. 일단 두 가지 사실을 기반으로 생각해봅시다.

• $b_i$가 켜져 있다면, $a_{i-t}$ 또는 $a_{i+t}$가 켜져 있어야 합니다.
• $a_i$가 켜져 있다면, $b_{i-t}$와 $b_{i+t}$가 모두 켜져 있어야 합니다.

이제 $b_i$를 왼쪽부터 보면서, 켜져 있으면서 아직 $a_{i-t}$와 $a_{i+t}$ 모두가 꺼져 있는 $b_i$들에 대해, 그리디하게 $a$의 비트들을 켜 줍니다.

• 오른쪽($a_{i+t}$) 비트를 켤 수 있으면 켜 줍니다. 오른쪽 비트를 켤 수 있으려면, $b_{i+2t}$가 존재하지 않거나 켜져 있어야 합니다. 이는 사전 순으로 가장 먼저 오는 $a$를 구성하기 위함입니다.
• 오른쪽 비트를 켤 수 없다면 왼쪽($a_{i-t}$) 비트를 켜 줍니다.

생각해 보면 모든 $b_i$에 대해 둘 중 하나 이상을 켤 수 있는 경우만 입력으로 주어진다는 사실을 알 수 있습니다. 이를 그대로 구현해 주면 됩니다. $\mathcal{O}\left(n\right)$만에 해결할 수 있습니다.

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
using ll = long long;
using ld = long double;
using pii = pair<int, int>;

/* [t] [c] [s] */

void solve() {
    int n, t;
    cin >> n >> t;

    string b;
    cin >> b;

    vector<int> a(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (b[i] == '0') continue;
        int l = i - t, r = i + t;
        if ((l >= 0 && a[l]) || (r < n && a[r])) continue;

        int ll = l - t, rr = r + t;
        if (r < n) {
            if (rr >= n || b[rr] == '1') {
                a[r] = 1;
                continue;
            }
        }
        if (l >= 0) {
            if (ll < 0 || b[ll] == '1') {
                a[l] = 1;
                continue;
            }
        }
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) cout << a[i];
    cout << endl;
}

int main() {
    cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr), ios::sync_with_stdio(false);

#ifdef _SHIFTPSH
    freopen("_run/in.txt", "r", stdin), freopen("_run/out.txt", "w", stdout);
#endif

    int t;
    cin >> t;
    for (int _ = 1; _ <= t; _++) {
        cout << "Case #" << _ << endl;
        solve();
    }

    return 0;
}

1차 3번 – No Cycle

정점 $N \leq 500$개, 간선 $M+K$개의 그래프가 있습니다. $M+K$의 간선 중 $M \leq 2\,000$개는 방향이 있고, $K \leq 2\,000$개는 방향이 정해지지 않았습니다.

이 때 $K$개의 간선들의 방향을 잘 정해서, 사이클이 없는 그래프를 구성하고 싶습니다. 방향이 정해진 $M$개의 간선들만 있는 경우에는 사이클이 없는 상태입니다.

답은 $K$글자의 비트 문자열입니다. 방향이 없는 $i$번째 간선의 입력이 $\textcolor{#ff3b57}{u}$ $\textcolor{#ffb717}{v}$로 주어졌을 때, $\textcolor{#ff3b57}{u} \rightarrow\textcolor{#ffb717}{v}$로 방향을 정했다면 $0$, $\textcolor{#ffb717}{v} \rightarrow \textcolor{#ff3b57}{u}$로 방향을 정했다면 $1$입니다. 이 때 사전 순으로 가장 앞서는 비트 문자열을 출력해야 합니다.

---

사이클이 없는 방향 그래프에서, 임의의 정점 $\textcolor{#ff3b57}{u}$와 $\textcolor{#ffb717}{v}$를 고르고 그 정점을 잇는 간선을 추가한다고 생각해 봅시다. $\textcolor{#ff3b57}{u} \rightarrow\textcolor{#ffb717}{v}$로 정할 수도 있고 $\textcolor{#ffb717}{v} \rightarrow \textcolor{#ff3b57}{u}$로 정할 수도 있습니다. 두 경우 모두가 사이클을 만드는 경우가 있을까요?

$\textcolor{#ff3b57}{u} \rightarrow\textcolor{#ffb717}{v}$라는 간선을 추가했을 때 사이클이 생긴다는 것은, $\textcolor{#ffb717}{v} \rightarrow \textcolor{#ff3b57}{u}$로 가는 경로가 이미 존재한다는 사실과 동치입니다.

따라서 $\textcolor{#ff3b57}{u} \rightarrow\textcolor{#ffb717}{v}$도 사이클을 만들고 $\textcolor{#ffb717}{v} \rightarrow \textcolor{#ff3b57}{u}$도 사이클을 만든다면, 각각 $\textcolor{#ffb717}{v} \rightarrow \textcolor{#ff3b57}{u}$라는 경로와 $\textcolor{#ff3b57}{u} \rightarrow\textcolor{#ffb717}{v}$라는 경로 모두가 이미 존재해야 됩니다.

하지만 그런 두 개의 경로가 이미 존재한다면, 그 두 개의 경로만으로 사이클을 만들 수 있습니다. 이는 우리가 처음에 한 가정 — 사이클이 없는 방향 그래프 — 에 모순됩니다. 따라서 $\textcolor{#ff3b57}{u} \rightarrow\textcolor{#ffb717}{v}$와 $\textcolor{#ffb717}{v} \rightarrow \textcolor{#ff3b57}{u}$ 중 적어도 하나는 새로운 사이클을 만들지 않는다는 사실을 알 수 있습니다.

그러므로 이미 사이클이 없는 방향 그래프라면, 간선들을 무한정 추가해줄 수 있습니다. 그래프의 정점과 간선의 수가 작기 때문에, 간선을 추가해줄 때마다 사이클이 생기는지 생기지 않는지 확인하면서 간선을 하나씩 추가해나갈 수 있습니다.

사전 순으로 가장 앞서는 비트 문자열을 구성해야 하므로, 우선 $\textcolor{#ff3b57}{u} \rightarrow\textcolor{#ffb717}{v}$를 추가한 뒤 사이클이 안 생긴다면 그대로 가져갑니다. 사이클이 생긴다면 위의 증명을 통해 $\textcolor{#ffb717}{v} \rightarrow \textcolor{#ff3b57}{u}$를 추가해줄 수 있음이 보장된다는 것을 알 수 있으므로, 그렇게 해 줍니다.

사이클의 존재 여부를 판단하는 방법은 여러 가지가 있습니다. 저는 DFS로 구현했습니다. 그래프가 연결 그래프임은 보장되지 않으므로, 방문하지 않은 모든 정점에서 DFS를 시작해야 함에 유의합니다.

간선을 $K$개 추가해 주고, 추가할 때마다 DFS를 한 번 해야 하므로 $\mathcal{O}\left(K\left(N+K+M\right)\right)$의 시간이 걸립니다.

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
using ll = long long;
using ld = long double;
using pii = pair<int, int>;

/* [t] [c] [s] */

bitset<501> root;
int vis[501], ans[2000];

bool dfs(int u, const vector<vector<int>> &graph) {
    // check for cycles
    if (vis[u]) return vis[u] == -1;
    vis[u] = -1;
    for (int v : graph[u]) {
        if (dfs(v, graph)) return true;
    }
    vis[u] = 1;
    return false;
}

void solve() {
    int n, m, k;
    cin >> n >> m >> k;

    root.reset(), root.flip();

    vector<vector<int>> graph(n + 1);

    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        graph[u].emplace_back(v);
    }
    
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;

        // 0?
        graph[u].emplace_back(v);
        memset(vis, 0, sizeof vis);
        bool flag = true;
        for (int x = 1; x <= n; x++) {
            if (vis[x]) continue;
            if (dfs(x, graph)) {
                flag = false;
                break;
            }
        }
        ans[i] = !flag;
        if (flag) continue;
        
        // 1?
        graph[u].pop_back();
        graph[v].emplace_back(u);
    }

    for (int i = 0; i < k; i++) cout << ans[i];
    cout << endl;
}

int main() {
    cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr), ios::sync_with_stdio(false);

#ifdef _SHIFTPSH
    freopen("_run/in.txt", "r", stdin), freopen("_run/out.txt", "w", stdout);
#endif

    int t;
    cin >> t;
    for (int _ = 1; _ <= t; _++) {
        cout << "Case #" << _ << endl;
        solve();
    }

    return 0;
}

1차 4번 – 예약 시스템

$2 \times m$개의 방이 있는 호텔이 있습니다. $m \leq 50\,000$입니다.

$n\leq 20\,000$개 그룹의 투숙객들이 호텔에 묵으려 합니다. 각 그룹의 크기는 $5$ 이상이고, 한 명이 한 개의 방에 묵습니다.

모든 투숙객들은 스트레스 지수 $w_i$를 갖고 있어서, 인접한 방에 다른 그룹의 투숙객이 있고 그 투숙객의 스트레스 지수가 $w_j$라면, 그 쌍에 대해 $w_i + w_j$만큼의 충돌이 발생합니다. 모든 쌍에 대해 충돌의 합을 최소화하고 싶습니다.

(그냥 이렇게 설명하면 끝나는 문제인데, SCPC 운영진은 디스크립션을 어렵게 쓰는 재주가 있는 걸까요?)

---

SCPC의 서브태스크는 보통은 만점 풀이와는 무관한 브루트포스 풀이를 요구하는 경향이 있는데, 이 문제는 서브태스크 순서대로 생각해 보면 정해 풀이까지 다다를 수 있는 문제였다고 생각합니다.

문제를 처음 읽으면 어떻게 배치해야 될지 조차 감이 오지 않지만 서브태스크가 그룹 크기가 홀수 또는 짝수인 경우로 나뉘어 있다는 점에서 착안해 아래와 같은 접근을 시작할 수 있었습니다.

서브태스크 1: 그룹이 모두 짝수인 경우

우선 그룹의 크기 $l_i$가 모두 짝수일 때의 경우, 최적의 배치가 어떻게 되는지 생각해 봅시다. 다른 그룹과 ‘닿는’ 부분이 최소화되면 좋을 것 같습니다. 그런 배치는 아래 그림과 같이, $2 \times \frac{l_i}{2}$ 직사각형들을 이어 붙인 경우가 됩니다.

이 때 핑크색으로 칠한 부분에서 충돌이 일어납니다.

그룹의 순서가 정해져 있을 때 충돌의 합을 최소화하려면, 첫 번째 그룹과 마지막 그룹에서는 제일 작은 원소 $2$개씩을 고르고, 나머지 그룹에서는 제일 작은 원소 $4$개씩을 고르면 됩니다.

다르게 생각한다면 모든 그룹에서 제일 작은 원소 $4$개씩을 고른 후, 두 개의 그룹에서만 $3$번째로 작은 원소와 $4$번째로 작은 원소 하나씩을 빼 주면 됩니다.

$i$번째 그룹에서 $j$번째로 작은 원소를 $m_{i,j}$라고 합시다. 그러면 모든 그룹을 $m_{i,3}+m_{i,4}$ 순으로 정렬한 후, $\sum_i \left(m_{i,1}+m_{i,2}+m_{i,3}+m_{i+4}\right)$에서 $m_{i,3}+m_{i,4}$가 제일 큰 두 그룹만 빼 주면 정답입니다.

서브태스크 2: 그룹이 모두 홀수인 경우

짝수인 경우와 비슷하게 배치해줄 수 있습니다.

이 경우에는 충돌이 조금 더 많이 생기긴 합니다만, 짝수의 경우와 비슷하게 접근할 수 있습니다.

우선 각 그룹마다 두 번씩 충돌이 일어나는 원소가 하나 있는데, 이를 그 그룹에서 가장 작은 원소로 둡시다. 그러면 모든 그룹에서 제일 작은 원소 $4$개씩을 고른 후, 두 개의 그룹에서만 $3$번째로 작은 원소와 $4$번째로 작은 원소 하나씩을 빼 주면 되는 것은 동일합니다만, 가장 작은 원소는 한 번 더 더해줘야 합니다.

다시 말하면 모든 그룹을 $m_{i,3}+m_{i,4}$ 순으로 정렬한 후, $\sum_i \left(\textcolor{#ff3b57}{2m_{i,1}}+m_{i,2}+m_{i,3}+m_{i+4}\right)$에서 $m_{i,3}+m_{i,4}$가 제일 큰 두 그룹만 빼 주면 정답입니다.

서브태스크 3: 짝수 그룹과 홀수 그룹이 섞여 있는 경우

위에서의 접근을 바탕으로, 크게는 $3$가지 경우로 나눠 생각할 수 있습니다.

• 짝수 그룹과 홀수 그룹이 하나 이상씩 있다면, 맨 왼쪽 그룹과 맨 오른쪽 그룹에 짝수 그룹 하나와 홀수 그룹 하나씩이 있는 경우
• 짝수 그룹의 개수가 $2$개 이상이라면, 맨 왼쪽 그룹과 맨 오른쪽 그룹이 모두 짝수 그룹인 경우
• 홀수 그룹의 개수가 $2$개 이상이라면, 맨 왼쪽 그룹과 맨 오른쪽 그룹이 모두 홀수 그룹인 경우

3a: 맨 왼쪽 그룹과 맨 오른쪽 그룹에 짝수 그룹 하나와 홀수 그룹 하나씩이 있는 경우

먼저 홀수 그룹들을 전부 왼쪽에 배치하고, 나머지 짝수 그룹들을 전부 오른쪽에 배치합시다.

짝수 그룹 중 $m_{i,3}+m_{i,4}$가 가장 큰 그룹 하나와, 홀수 그룹 중 $m_{i,3}+m_{i,4}$가 가장 큰 그룹 하나를 골라서 빼 주면 됩니다.

3b: 맨 왼쪽 그룹과 맨 오른쪽 그룹이 모두 짝수 그룹인 경우

위의 경우와 비슷합니다. 오른쪽에 있는 짝수 그룹들 중 하나를 빼다가 맨 왼쪽에 붙이면 됩니다.

짝수 그룹 중 $m_{i,3}+m_{i,4}$가 가장 큰 그룹 두 개를 골라서 빼 주면 됩니다.

3c: 맨 왼쪽 그룹과 맨 오른쪽 그룹이 모두 홀수 그룹인 경우

이 경우는 약간 까다롭습니다.

일단 홀수 그룹 두 개를 잘 합치면 직사각형을 만들 수 있다는 점에서 착안해 아래와 같은 배치를 생각할 수 있습니다.

이 경우, 홀수 그룹 중 $m_{i,3}+m_{i,4}$가 가장 큰 그룹 두 개를 골라서 빼 주면 됩니다.

하지만 이런 경우는 홀수 그룹이 $4$개 이상인 경우에만 만들 수 있습니다. 홀수 그룹이 $2$개라면 어쩔 수 없이 아래와 같은 경우로 구성해야 합니다.

이 경우에는, 짝수 그룹들에서 $\sum_i \left(\textcolor{#ff3b57}{2m_{i,1}}+\textcolor{#ff3b57}{2m_{i,2}}+m_{i,3}+m_{i+4}\right)$를 해 줘야 합니다. 홀수 그룹이 $2$개인 경우에만 특수하게 처리해줍시다.

모든 경우를 고려한 코드는 아래와 같습니다. 정렬이 필요하기 때문에 $\mathcal{O}\left(n \log n\right)$만큼의 시간이 걸립니다. 사실 제일 큰 두 개 그룹만 구해도 상관없기 때문에, 잘 짠다면 $\mathcal{O}\left(n\right)$도 가능하지만요.

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
using ll = long long;
using ld = long double;
using pii = pair<int, int>;

/* [t] [c] [s] */

int a[100000];
pii p[20000];

void solve() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;

    ll s = 0, sa = 0;
    ll oc = 0, ec = 0;

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int l;
        cin >> l;
        for (int j = 0; j < l; j++) cin >> a[j];
        sort(a, a + l);
        ((l & 1) ? oc : ec)++;
        p[i].first = a[2] + a[3];
        p[i].second = (l & 1);
        s += (1 + (l & 1)) * a[0] + a[1] + a[2] + a[3];
        sa += 2 * a[0] + (2 - (l & 1)) * a[1] + a[2] + a[3];
    }

    sort(p, p + n, greater<>());

    if (oc && ec) {
        ll coe = 0, coo = 0, cee = 0;

        // coe: o o .. o e .. e e
        int o = 0, e = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (!o && p[i].second) {
                coe += p[i].first;
                o++;
            }
            if (!e && !p[i].second) {
                coe += p[i].first;
                e++;
            }
            if (o && e) break;
        }

        // coo: o o .. o e .. e o .. o o
        if (oc >= 2) {
            o = 0;
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                if (o < 2 && p[i].second) {
                    coo += p[i].first;
                    o++;
                }
                if (o >= 2) break;
            }
        }

        // cee: e e .. e o .. o e .. e e
        if (ec >= 2) {
            e = 0;
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                if (e < 2 && !p[i].second) {
                    cee += p[i].first;
                    e++;
                }
                if (e >= 2) break;
            }
        }

        vector<ll> cd;
        cd.emplace_back(s - coe);
        cd.emplace_back(sa - coo);
        cd.emplace_back(s - cee);
        if (oc >= 4) cd.emplace_back(s - coo);

        s = *min_element(cd.begin(), cd.end());
    } else {
        s -= p[0].first + p[1].first;
    }

    cout << s << endl;
}

int main() {
    cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr), ios::sync_with_stdio(false);

#ifdef _SHIFTPSH
    freopen("_run/in.txt", "r", stdin), freopen("_run/out.txt", "w", stdout);
#endif

    int t;
    cin >> t;
    for (int _ = 1; _ <= t; _++) {
        cout << "Case #" << _ << endl;
        solve();
    }

    return 0;
}

$s$는 다음의 합입니다.

\[s=\sum_i \begin{cases}m_{i,1}+m_{i,2}+m_{i,3}+m_{i,4} &\text{if } l_i\text{ is even}\\ 2m_{i,1}+m_{i,2}+m_{i,3}+m_{i,4} &\text{if } l_i\text{ is odd}\end{cases}\]

$sa$는 홀수 그룹이 $2$개인 경우 특수 처리를 해 주기 위한 값으로서 다음의 합입니다.

\[sa=\sum_i \begin{cases}2m_{i,1}+2m_{i,2}+m_{i,3}+m_{i,4} &\text{if } l_i\text{ is even}\\ 2m_{i,1}+m_{i,2}+m_{i,3}+m_{i,4} &\text{if } l_i\text{ is odd}\end{cases}\]

배열 $p$에는 모든 그룹들에 대해 홀/짝 정보와 $m_{i,3}+m_{i,4}$ 정보를 저장해 두고 정렬했습니다.

여담

이 문제는 오후 7시 33분에 한 번 수정되었습니다.

예약 시스템 문제에서 조건이 하나 빠져 있었습니다. 아래와 같이 명시했고, 제출 횟수를 20회로 늘릴 것입니다.

– 한 집합에 속한 예약자들은 모두 한 덩어리의 방들을 배정 받아야 한다. 한 덩어리의 방들이란 덩어리에 속한 어떤 방 두개에 대해서도, 덩어리에 속하고 인접한 방들을 통해서 이동이 가능하다는 의미이다.

그런 말이 쓰여 있지는 않았지만, 운이 좋게도? 당연히 연결 요소여야 최소일 것이라고 생각하고 풀었고, 문제를 맞을 수 있었습니다. 연결 요소가 아니어도 괜찮았을 경우, 다음과 같은 반례가 있습니다.

1
5 14
6 1 1 1 1 1 1
6 2 2 2 2 2 2
6 2 2 2 2 2 2
5 10 10 10 10 10
5 10 10 10 10 10

이 경우 아래와 같은 구성이 가능합니다.

이 때 답은 $84$입니다.

1차 5번 – 차이

$100\,000$개 이하의 미지수 $X_i$들에 대해 다음 쿼리들을 수행해야 합니다. 쿼리의 수는 $200\,000$개 이하입니다.

• 1 i j d: $X_i + d = X_j$라는 조건을 추가합니다.
• 2 i j: $X_i-X_j$를 출력합니다. 조건이 모순된다면 CF를, 주어진 조건들만으로 알 수 없다면 NC를 출력합니다.

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$d$가 없다면 간단한 DSU 문제입니다. 이걸로 서브태스크 1과 3을 쉽게 해결할 수 있습니다.

DSU 트리의 간선들에 가중치가 있다고 생각한다면 서브태스크 2와 4를 해결할 수 있습니다.

우리가 DSU 쿼리를 $\mathcal{O}\left(\alpha\left(N\right)\right)$만에 할 수 있는 이유는 경로 압축^{path compression}이라는 좋은 테크닉이 있어서입니다. $p_u$가 노드 $u$의 부모 노드라고 한다면, $u$의 루트를 구하는 함수 $\mathrm{find}$에서 경로 압축은 다음과 같이 재귀적으로 수행했습니다.

\[\mathrm{find}\left(u\right) = \begin{cases} u & \text{if } u=p_u \\ p_u \leftarrow \mathrm{find}\left(p_u\right) & \text{otherwise} \end{cases}\]

이렇게 하면 $u$에서 $u$의 루트 $r$로 가는 경로 위에 있는 모든 정점들의 부모가 아예 $r$로 바뀌어 버리게 됩니다.

현재 노드 $u$에서 부모 노드 $p_u$로 가는 비용을 $d_u$라고 합시다. 그러면 $d_u$도 비슷한 방법으로 압축해버릴 수 있습니다.

$\mathrm{find}$ 함수를 돌릴 때 $u$의 부모 노드는 $p_u$였고, $p_u$의 부모 노드는 $r$이었습니다. 따라서 $u$에서 $r$까지 가는 데는 $d_u + d_{p_u}$만큼의 비용이 필요합니다. $\mathrm{find}$ 함수에서 경로 압축을 수행하면서, $d_u$를 $d_u + d_{p_u}$로 업데이트해 주면 됩니다. 이제 가중치가 있는 DSU 트리에서도 경로 압축을 할 수 있습니다.

1번 쿼리와 2번 쿼리 모두 $\mathcal{O}\left(\alpha\left(N\right)\right)$만큼의 시간이 걸립니다. 총 시간 복잡도는 $\mathcal{O}\left(K\alpha\left(N\right)\right)$입니다.

$\alpha$는 역 아커만 함수^{inverse Ackermann function}이며, $\alpha\left(2^{2^{2^{65536}}}-3\right)=4$ 정도로 작기 때문에 상수라고 생각해도 무방합니다.

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
using ll = long long;
using ld = long double;
using pii = pair<int, int>;

/* [t] [c] [s] */

int dsu[100001], conf[100001];
ll val[100001]; // [u] + val[u] = [dsu[u]]

int find(int u) {
    if (dsu[u] == u) return u;
    int pp = find(dsu[u]);
    val[u] += val[dsu[u]], dsu[u] = pp;
    return pp;
}

bool merge(int u, int v, ll x) {
    // [u] + x = [v]
    if (find(u) == find(v)) {
        if (val[u] + x != val[v]) {
            conf[find(u)] = true;
            return false;
        }
        return true;
    }

    int pu = find(u);
    x += val[u];
    int pv = find(v);
    x -= val[v];
    u = pu, v = pv;
    val[u] = val[v] - x, dsu[u] = v;
    conf[v] |= conf[u];
    return true;
}

void solve() {
    int n, q;
    cin >> n >> q;

    iota(dsu + 1, dsu + n + 1, 1);
    memset(conf, 0, sizeof conf);
    memset(val, 0, sizeof val);

    while (q--) {
        int op;
        cin >> op;
        if (op == 1) {
            int i, j, d;
            cin >> i >> j >> d;
            merge(i, j, -d);
        } else {
            int i, j;
            cin >> i >> j;
            int pi = find(i), pj = find(j);
            if (pi != pj) {
                cout << "NC\n";
            } else if (conf[pi]) {
                cout << "CF\n";
            } else {
                cout << val[i] - val[j] << '\n';
            }
        }
    }

    cout.flush();
}

int main() {
    cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr), ios::sync_with_stdio(false);

#ifdef _SHIFTPSH
    freopen("_run/in.txt", "r", stdin), freopen("_run/out.txt", "w", stdout);
#endif

    int t;
    cin >> t;
    for (int _ = 1; _ <= t; _++) {
        cout << "Case #" << _ << endl;
        solve();
    }

    return 0;
}

conf는 모순이 발생했는지 여부를 저장하는 배열입니다. find 함수가 항상 루트를 찾아주기 때문에, conf 플래그도 맨 위에만 달면 충분합니다.

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긴 시간 문제 푸시느라 모두 수고하셨습니다. 라운드 2에서 만납시다!