모든 캐릭터를 모으기 위해서는 얼마를 써야 하는가

가챠(뽑기)는 나쁜 문명입니다.

뜬금없이 웬 가챠냐고 하면, 요즘 게임을 ‘확률성 아이템’을 빼놓고는 이야기할 수 없을 정도이기 때문입니다. 물론 필자가 하고 있는 게임 대부분에도 확률성 아이템이 들어가 있습니다. 하지만 저는 확률성 아이템의 윤리성 같은 것을 논하는 현명한 소비자와는 꽤 거리가 있으므로, 전혀 반대의 논지, 즉 몇 가지 게임에서 ‘모든 캐릭터를 모으려면 얼마를 써야 할까?’(Shut up and take my money)를 중심으로 이야기해보겠습니다.

확률 계산의 기본

통계학에서 확률을 계산할 때 수학적인 표현을 위해 사용되는 개념들이 있습니다. 확률변수확률질량함수, 기댓값이 그들 중 하나입니다.

확률변수는 값과 확률을 갖는 수입니다. 보통 대문자로 표시합니다. 예를 들어 주사위를 던져서 나오는 수를 확률변수 \(X\)라고 할 수 있습니다.

확률질량함수는 확률변수와 그 값을 대응시켜 주는 함수입니다. \(P\left(X=x\right)\)과 같은 방식으로 표기합니다. 쉽게 말하자면, \(P\left(X=x\right)\)는 \(X\)가 \(x\)일 확률을 말합니다. 위에서 언급한 주사위를 던져서 나오는 수를 예로 들면,
\[P\left(X=x\right) = \dfrac{1}{6} \left(x = 1, 2, 3, 4, 5, 6\right)\]
이라고 표시할 수 있겠습니다.

그리고 기댓값은 말 그대로 확률변수에 기대하는 값입니다. 평균이라고도 하는 기댓값은 \(E\left(X\right)\)로 표기합니다. 주사위의 눈 같은 경우엔 평균 \(E\left(X\right) = 3.5\)입니다.

조작된 주사위. 거의 매번 7 혹은 11이 나오게 해 줍니다.

그러나 주사위 안쪽에 쇠 같은 걸 붙여 둬서 한 면만 나올 확률이 비정상적으로 높은 주사위가 있다고 생각해 봅시다. 예를 들어, 6은 나올 확률이 \(\dfrac{95}{100}\)고, 나머지는 나올 확률이 \(\dfrac{1}{100}\)밖에 안 된다고 생각해 봅시다. 이 때도 주사위를 많이 던졌을 때 평균 \(E\left(X\right) = 3.5\)라고 생각할 수 있을까요?

아닙니다. 이 때는 거의 6이 나올 것이므로 평균이 6에 가까우면 가까웠지 3.5에 가깝진 않을 겁니다. 그래서 평균, 즉 기댓값을 구할 때는 평균과 확률을 곱해 줘야 합니다. 이 때 기댓값은 이렇게 구할 수 있습니다.

\[E\left(X\right) = 1\times\dfrac{1}{100} + 2\times\dfrac{1}{100} + 3\times\dfrac{1}{100} + 4\times\dfrac{1}{100} + 5\times\dfrac{1}{100} + 6\times\dfrac{95}{100} = 5.85\]

5.85는 3.5보다는 조금 믿을 수 있는 숫자 같네요!

아무튼 이걸 일반화하면, \(P\left(X=x_i\right) = p_i \left(i=1, 2, \ldots, n\right)\)일 때 아래와 같이 적을 수 있습니다.
\[E\left(X\right) =\sum_{i=1}^{n} {x_i}{p_i}\]
또한 보이다시피 \(E\left(X\right)\)는 \({x_i}{p_i}\)들의 합으로 이루어져 있기 때문에, \(E\left(aX+b\right)=aE\left(X\right)+b\), \(\sum E\left(X\right)=E\left(\sum_{}^{} X\right)\) 등도 성립합니다.

모든 카드를 얻으려면 – 등급별 가중치가 없을 때

여러 가지 게임들의 예를 들어 보겠습니다만, 일단 ‘사운드 볼텍스’의 예를 들어 보겠습니다. 사운드 볼텍스는 리듬게임이지만 스토리를 진행함에 있어 높은 등급의 카드를 뽑는 것이 거의 필수적입니다. 등급이 나누어져 있긴 하고 실제로 중복 카드를 일부러 더 잘 나오게 설정했다는 게 체감된다고 하지만, 일단은 실제 확률이 고지되어 있지 않으므로 등급별 확률이 정해져 있지 않고 모든 카드가 나올 확률이 같다고 가정하겠습니다.

‘사운드 볼텍스 IV’의 PUR 등급 카드 중 하나의 모습. 필자도 갖고 있습니다.

일단 몇 가지를 가정해 봅시다.

  1. 카드는 한 번 뽑는 데 1,000원입니다.
  2. 카드는 한 장 씩 뽑고, 다음 카드를 뽑기 전에 카드를 확인합니다.
  3. 카드는 전체 \(n\)종류입니다. 각 카드 종류가 등장할 확률은 \(\dfrac{1}{n}\)입니다.
  4. \(n\)종류의 카드를 전부 뽑으면 더 이상 뽑지 않습니다.
  5. 게임에서는 이미 나온 카드를 10번 다시 뽑으면 다음 한 장은 중복이 아님이 보장되지만, 여기서는 무시합니다.

이 때 우리는 평균적으로 카드를 총 몇 장 뽑아야 모든 종류의 카드를 뽑을 수 있을까요? 즉 뽑아야 하는 카드 수를 확률변수 \(X\)라고 둘 때 \(\left(X\right)\)는 얼마일까요?

그냥 구하고자 하니 막막합니다. 조금 더 쉬운 방법을 생각해 봅시다. 이미 \(i-1\)종류의 카드를 모았을 때 새로운 종류의 카드를 모으는 데 뽑는 횟수를 확률변수 \(Y_i\)라고 두면 \(X = Y_1 + Y_2 + Y_3 + \ldots + Y_n\)으로 생각할 수 있습니다.

 

 

이렇게 하면 \(P\left(Y_i = k\right)\)는 \(i-1\)종류를 뽑은 상황에서 \(k\)번째에 새로운 종류의 카드를 뽑은 셈이 되므로, \(k-1\)번은 원래 뽑았던 카드 \(i-1\)종류 중 하나를, 마지막에는 남은 카드 종류 \(n-\left(i-1\right)\)개 중 하나를 뽑는 셈이 됩니다. 즉,

\[P\left(Y_i = k\right) = {\left(\dfrac{i-1}{n}\right)}^{k-1}{\left(1-\dfrac{i-1}{n}\right)}\]

가 됩니다. 식이 나왔으니 카드 \(i-1\)종류가 있을 때 새로운 종류의 카드를 뽑으려면 몇 장을 뽑아야 하는지에 대한 기댓값을 구할 수 있는데요, 이론적으로는 무한 장 뽑아도 새 종류가 안 나올 수도 있으니 \(k\)에는 사실상 1부터 무한대까지 들어갈 수 있겠습니다. 그러므로,

\[E\left(Y_i\right) =\sum_{k=1}^{\infty} kP\left(Y_i = k\right)\]
\[=\sum_{k=1}^{\infty} k{\left(\dfrac{i-1}{n}\right)}^{k-1}{\left(1-\dfrac{i-1}{n}\right)}\]

식이 복잡하므로 \(\dfrac{i-1}{n} = r\)으로 치환하고 계속 계산해 보면,

\[=\sum_{k=1}^{\infty} k{r^{k-1}{\left(1-r\right)}}\]
\[=\left(1-r\right)\sum_{k=1}^{\infty} kr^{k-1}\]

여기서 \(r\)이 1보다 작으므로 위의 멱급수는 무한등비급수의 합을 이용해 계산할 수 있습니다. 항등식 \(\sum_{k=1}^{\infty} r^{k} = \dfrac{1}{1-r}\)에서 양변을 \(r\)에 대해 미분하면 \(\sum_{k=1}^{\infty} kr^{k-1} = \dfrac{1}{{\left(1-r\right)}^2}\)이므로, 이를 이용해서 정리하면

\[E\left(Y_i\right) = \left(1-r\right)\dfrac{1}{{\left(1-r\right)}^2}\]
\[= \dfrac{1}{1-r}\]

라는 꽤 간단한 식이 됩니다. 최종적으로 \(r = \dfrac{i-1}{n}\)을 다시 대입하고 정리해 주면

\[E\left(Y_i\right) = \dfrac{n}{n-i+1}\]

입니다.

처음에 \(X\)를 \(n\)개의 \(Y_i\)로 쪼갰으니까 \(X = \sum_{i=1}^{n} Y_i\)라고 쓸 수 있겠습니다. 앞서 언급한 기댓값의 정의에 의해

\[E\left(X\right) = E\left(\sum_{i=1}^{n} Y_i\right) = \sum_{i=1}^{n} E\left(Y_i\right)\]

이므로, \(E\left(Y_i\right) = \dfrac{n}{n-i+1}\)를 대입하면

\[E\left(X\right) = \sum_{i=1}^{n} \dfrac{n}{n-i+1}\]

입니다. 여기서 \(u = n-i+1\), 즉 \(i = n-u+1\)로 치환해 버린다면 1에서부터 \(n\)까지의 \(i\)의 범위는 \(n\)에서부터 1까지의 \(u\)의 범위가 되고, 시그마는 범위가 반대여도 결과는 같으므로 식은

\[E\left(X\right) = \sum_{u=n}^{1} \dfrac{n}{u} = n\sum_{u=1}^{n} \dfrac{1}{u}\]

이 나옵니다. \(\sum_{u=1}^{n} \dfrac{1}{u}\)는 달리 간단히 할 방법이 없으므로 여기서 만족하고 Wolfram|Alpha에 맡기도록 합시다.

적용

이제 식에 대입하는 일만 남았습니다! 만약 카드 한 세트가 총 31장이라고 하고 31장 안에서만 카드가 나온다고 한다면, \(n = 31\)일 때 \(E\left(X\right)\)는

\[E\left(X\right) =31\sum_{u=1}^{31} \dfrac{1}{u} \approx 124.84460\]

이므로, 약 124,845원을 넣으면 모든 카드를 수집할 수 있다는 뜻이 되겠습니다! 물론 실제 게임에서는 이미 나온 카드를 10번 다시 뽑으면 다음 한 장은 중복이 아님이 보장되지만 이를 무시하고 계산한 것이기에 숫자가 현저히 크게 나오는 감도 없지 않습니다.

모든 아이돌을 프로듀스하려면 – 등급별 가중치가 있을 때

그러나 많은 게임들은 그렇게 호락호락하지 않습니다. 바로 등급에도 확률을 부여하기 때문입니다.

‘아이돌마스터 신데렐라 걸즈 스타라이트 스테이지’의 SSR 봉투.

대표적으로 ‘아이돌 마스터 신데렐라 걸즈 스타라이트 스테이지’는 노멀, 레어, S레어, SS레어의 4개 등급의 카드를 만들어 놓았습니다. 5명의 아이돌을 유닛으로 편성해 즐기는 리듬게임인데, SS레어 아이돌들이 점수와 직결되는 합계 어필 수치가 현저히 높고 부가 능력치도 훨씬 좋기 때문에 S레어 5인으로 덱을 구성해 게임을 하는 것보다 SS레어 5인으로 구성하는 것이 훨씬 점수가 잘 나와서 높은 점수를 얻으려면 SS레어 아이돌의 존재는 필수적입니다. 결정적으로 일러스트가 상당히 예뻐서 수집욕구를 불러일으키기도 합니다.

하지만 이 게임은 SSR를 얻을 수 있는 확률은 1.5%라고 공지해 두고 있습니다. 결국 98.5%는 S레어 이하의 등급이라는 뜻이죠. 그러면 모든 종류의 SSR 아이돌을 얻기 위해서는 얼마만큼의 돈이 필요할까요?

몇 가지를 가정하겠습니다.

  1. 아이돌은 한 번 스카우트하는 데 스타 쥬얼 250개가 필요합니다. 스타 쥬얼 0.85개는 1엔입니다.
  2. 아이돌은 한 명 씩 스카우트하고, 다음 아이돌을 스카우트하기 전에 아이돌의 이름을 기억해 둡니다.
  3. SS레어 아이돌은 전체 \(n\)명입니다. 각 아이돌이 등장할 확률은 등급 내에서 \(\dfrac{1}{n}\)입니다. 한정 아이돌은 한정으로 생각하지 않습니다.
  4. SS레어 아이돌이 등장할 확률은 \(p\)입니다.
  5. \(n\)명의 SS레어 아이돌을 전부 스카우트하면 더 이상 스카우트하지 않습니다.

이번에도 사운드 볼텍스에서 계산했던 것과 같이 확률변수 \(X\)를 \(n\)개의 \(Y_i\)로 쪼개서 계산합시다. 하지만 이번에는 SSR가 아닌 아이돌은 고려하지 않습니다. 저번처럼 \(P\left(Y_i = k\right)\)는 \(i-1\)명을 스카우트한 상황에서 \(k\)번째에 새로운 아이돌을 스카우트한 것인데, \(k-1\)번은 원래 스카우트했던 SSR 아이돌 \(i-1\)명 중 하나 또는 SR 이하 아이돌을, 마지막에는 SSR 등급에 아직 스카우트하지 못한 아이돌 \(n-\left(i-1\right)\)명 중 하나를 뽑는 셈이 됩니다.

여기서 SSR 등급에 남은 아이돌 \(n-\left(i-1\right)\)명 중 한 명을 스카우트하는 확률은 \(p\left(1-\dfrac{i-1}{n}\right)\)입니다. 원래 스카우트했던 SSR 아이돌 \(i-1\)명 중 하나 또는 SR 이하 아이돌을 스카우트하는 경우는 전체 카드 중 SSR 등급에 아직 스카우트하지 못한 아이돌 \(n-\left(i-1\right)\)명 중 한 명을 제외하고 누구를 스카우트하든 상관없는 경우이므로, 확률은 \(1 – p\left(1-\dfrac{i-1}{n}\right)\)이라고 할 수 있겠습니다. 따라서,

\[P\left(Y_i = k\right) = {\left(1 – p\left(1-\dfrac{i-1}{n}\right)\right)}^{k-1}{\left(p\left(1-\dfrac{i-1}{n}\right)\right)}\]

계산하기 쉽게 \(p\left(1-\dfrac{i-1}{n}\right) = s\)로 놓으면

\[P\left(Y_i = k\right) = {\left(1 – s\right)}^{k-1}{\left(s\right)}\]

\(1-s=r\)로 놓으면

\[P\left(Y_i = k\right) = r^{k-1}{\left(1-r\right)}\]

으로 지난번과 똑같은 형태가 됩니다. 다만 \(r\) 안의 식이 지난번과 다를 뿐입니다.

역시 이론적으로는 무한 번 뽑아도 안 나올 수 있으므로 지난번과 같은 계산을 하면

\[E\left(Y_i\right) = \dfrac{1}{1-r} = \dfrac{1}{s}\]
\[= \dfrac{n}{p\left(n-i+1\right)}\]

이 됩니다. \(E\left(X\right)\)도 계산해 보면
\[E\left(X\right) = \sum_{i=1}^{n}\dfrac{n}{p\left(n-i+1\right)}\]
\[= \dfrac{1}{p}n\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{\left(n-i+1\right)}\]
이므로, 앞서 \(\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{\left(n-i+1\right)} = \sum_{u=1}^{n}\dfrac{1}{u}\)로 계산한 것과 같이

\[E\left(X\right) = \dfrac{n}{p}\sum_{u=1}^{n}\dfrac{1}{u}\]

가 됩니다. 따라서 기댓값은 등장 확률에 반비례함을 알 수 있습니다.

적용

데레스테 SSR 소유율이라는 사이트에 의하면 현재(2017년 8월 13일) SSR 아이돌은 총 127명입니다. (통상 70명, 한정 57명) 또한, SSR 확률은 1.5%이므로 \(p = \dfrac{3}{200}\)입니다.

한정 아이돌을 고려하지 않고 127명이 가챠에서 모두 나올 수 있다고 가정하면, \(n = 127\)일 때

\[E\left(X\right) = \dfrac{200\times 127}{3}\sum_{u=1}^{127}\dfrac{1}{u}\]

\[\approx\dfrac{200\times 127}{3}\times 5.4253346\approx45934.5\]

이므로, 평균적으로 스타 쥬얼을 11,483,625(1148만 3625)개, 즉 구매량에 따른 효율에 따라 평균적으로 13,353,052엔(1335만 3052엔, \(\approx\) 1.35억원)을 과금하면 SSR 아이돌을 전부 모을 수 있습니다.

반면 통상 아이돌 70명만 고려한다면, \(n = 70\)일 때

\[E\left(X\right) = \dfrac{200\times 70}{3}\sum_{u=1}^{70}\dfrac{1}{u}\]

\[\approx\dfrac{200\times 70}{3}\times 4.8328368\approx22553.2\]

이므로, 이 경우엔 스타 쥬얼 5,638,300개가 필요합니다. 그러므로 평균적으로 6,633,294엔(663만 3294엔, \(\approx\) 0.670억원)을 과금하면 통상 SSR 아이돌을 전부 모을 수 있습니다.

신데렐라 페스 한정 아이돌, SSR 마에카와 미쿠. 한 아이돌은 보통 여러 카드에 등장합니다.

6월 말에 신데렐라 페스를 진행했을 때 SSR 확률이 3%로 고정되었습니다. 이 때의 \(p = \dfrac{3}{100}\)이므로 페스 기간 동안에만 가챠를 돌린다면, 소모되는 비용은 등장 확률에 반비례하기 때문에 현재는 위에 적힌 가격의 반값으로 전부 스카우트하는 것을 기대해 볼 수 있습니다.

스타 쥬얼을 얻을 수 있는 경로가 필요한 스타 쥬얼의 양에 비해 꽤 적은 비율이지만 과금 외에도 존재하므로 이를 고려한다면 위에 적힌 가격보다는 적을 수도 있습니다.

모든 용사를 얻으려면 – 등급별 가중치와 결제 한정 캐릭터를 고려할 때

용사에게 등급이 있지만 4성 이후로는 등급을 올리는 게 가능해 오히려 도감을 채우기 위해 5성 이상보다는 4성이 선호되는 게임 ‘크루세이더 퀘스트’

‘크루세이더 퀘스트’는 특이한 게임입니다. 뽑기로 얻을 수 없는 ‘전설 용사’를 제외하고 1~3성 용사는 ‘일반 용사’, 4~6성은 ‘고급 용사’로 분류됩니다. 용사에 등급이 매겨져 있는 건 다른 게임과 다를 게 없으나, 용사들은 조금의 노력으로 더 높은 단계로 승급할 수 있습니다. 2~4성으로의 승급은 아예 랜덤이지만 5~6성으로의 승급은 고정됩니다. 예를 들어 3성 가챠레인저B는 4성 바이올렛으로 승급이 가능하지만, 4성 바이올렛이 승급하면 5성 인형사 바이올렛, 6성 마법인형사 바이올렛이 고정되는 식입니다.

전설 용사 ‘병아리’. 게임을 시작할 때 바로 얻을 수 있습니다.

하지만 고급 용사는 또 ‘승급 용사’와 ‘계약 전용 용사’로 나뉩니다. 계약 전용 용사는 보석을 5~6개 소모하는 ‘황금 계약서’에서 확률적으로 나옵니다. 그러면 모든 ‘계약 전용 용사’를 얻기 위해서는 얼마가 필요할까요?

이번의 조건은 다음과 같습니다.

  1. 용사는 연속으로 계약한다고 가정합니다. 첫 번째 계약 가격을 무시하고, 한 번 계약하는 데 보석 \(5\)개를 소모합니다. 보석 1개는 550원입니다.
  2. 용사는 한 명 씩 계약하고, 다음 용사를 계약하기 전에 용사의 이름을 확인합니다.
  3. 4성 이상의 용사는 전체 \(n\)명입니다. 각 용사가 등장할 확률은 \(\dfrac{1}{n}\)입니다. 이 중 한정 용사는 \(m\)명입니다.
  4. \(n\)종류의 용사와 모두 계약하면 더 이상 계약하지 않습니다.
  5. 게임에서는 10명씩 계약하면 마지막 1명은 4성 이상이 보장되지만, 여기에서는 고려하지 않습니다.
  6. 게임에서는 기간 한정으로 특정 용사의 계약확률이 증가하지만, 여기에서는 고려하지 않습니다.

앞서 확률이 \(p\)인 등급의 아이돌 \(n\)명을 전부 스카우트할 때의 기댓값은

\[E\left(X\right) = \dfrac{n}{p}\sum_{u=1}^{n}\dfrac{1}{u}\]

이었습니다. 여기서 ‘모든 계약 전용 용사’를 4~6성 내의 또 하나의 등급으로 생각한다면, 4~6성 내에서 계약 전용 용사와 계약할 확률은 \(\dfrac{m}{n}\)이므로 더 복잡한 계산을 할 필요 없이 모든 계약 전용 용사와 계약했을 때 계약 횟수에 대한 기댓값은

\[E\left(X\right) = \dfrac{n}{\dfrac{m}{n}p}\sum_{u=1}^{m}\dfrac{1}{u}\]

\[= \dfrac{n^2}{mp}\sum_{u=1}^{m}\dfrac{1}{u}\]

이 됩니다.

적용

황금 계약서에서 4성 이상의 용사가 나올 확률은 19%입니다. 또한 용사등급표에 따르면 현재(2017년 8월 13일) 크루세이더 퀘스트에는 계약서로 획득할 수 없는 이벤트, 전설 용사를 제외하고 승급 용사 43명, 계약 용사 58명이 있으므로 \(n = 43 + 58 = 101\), \(m = 58\), \(p = \dfrac{19}{100}\)으로 두면

\[E\left(X\right) = \dfrac{101^2 \times 100}{58 \times 19}\sum_{u=1}^{58}\dfrac{1}{u}\]

\[\approx \dfrac{101^2 \times 100}{58 \times 19} \times 4.646254 \approx 4300.95\]

이므로 평균적으로 보석을 21,505개, 즉 11,827,750원(1182만 7750원)을 과금하면 모든 계약 용사를 얻을 수 있습니다. 물론 이 게임은 보석을 획득할 수 있는 경로가 과금 이외에도 굉장히 다양하고 계약 용사 확정을 고려하지 않았으므로 실제 과금액은 이보다 현저히 적으리라 예상됩니다.

정리

확률형 아이템이 게임을 진행하는 데 중요한 요소가 되는 대표적인 게임 ‘아이돌 마스터 신데렐라 걸즈 스타라이트 스테이지’. 물론 여기다 쓸 돈을 다른 데다 쓰는 게 나을 수도 있겠지만, 적어도 자동차에 쓰면 자동차가 춤추고 노래하진 않을 것 같습니다.

계산하면서 큰 값이 나오리라고는 예상하고 있었지만, 예상을 훨씬 웃도는 숫자들이 나오면서 많이 놀랐습니다.

특히 ‘아이돌 마스터 신데렐라 걸즈 스타라이트 스테이지’의 경우 모든 아이돌을 모으는 데에 평균적으로 몇 천만원대의 과금이 필요하다는 것을 계산하고 나서는 차라리 자동차를 사는 게 낫다고 생각될 수도 있겠지만, 역시 자동차가 춤추고 노래하진 않기에 나름의 의미가 있다고 생각합니다.

마지막으로, 언급된 모든 게임들이 캐릭터를 모두 모으지는 않아도 진행하는 데에 큰 무리는 없으므로, 언급된 가격들은 전부 모으실 게 아니라면 ‘이렇게 큰 숫자가 나오는구나’ 라고 생각해 주시길 부탁드리겠습니다.