무한대를 0과 곱하면 어떻게 될까

주의: 이 포스트에는 \lim 같은 거 안 나옵니다. 쉬운 이해를 위해 안타깝게도 엄밀함을 일부 포기했습니다. 편하게 읽어 주세요!

최근 트위터를 하다가 재밌는 글을 발견했습니다. 파라과이 위키의 캡쳐였습니다. 내용을 보니 \infty\times0=0, \infty-\infty=0이라고 적혀 있었습니다. 지금은 이 문장이 삭제되어서 문서 기록에만 남아 있습니다. 무한대 문서의 r196판입니다.

사실 이 말은 들어 보면 얼핏 보면 맞는 말 같기도 합니다. 그렇지만 과연 그럴까요? 조금만 생각해 본다면 \infty-\infty=x에서 \infty를 양쪽에 더해 주면 \infty=x+\infty가 되는데요, 무한하게 큰 숫자에다 그냥 숫자 몇 개 더해봤자 어차피 무한하게 클 텐데 굳이 x=0이 아니어도 되지 않을까요?

그런지 아닌지 확인해 봅시다. 먼저 무한대의 정의부터 살펴봅시다.

무한대의 정확한 정의가 무엇인가요?

우리는 무한대를 말 그대로 무한히 큰 수로 알고 있습니다.

처음으로 ∞ 기호를 쓴 수학자, John Wallis (1616 – 1703)

따라서 실수 중에서 어떤 수를 골라도 아마 그것보단 클 겁니다. 한 {10}^{{100}^{1000}} 정도라고 해도 어쨌든 유한하긴 유한하기 때문에 무한대보단 작을 겁니다. 이걸 수학적으로 정의한다면 어떻게 하면 좋을까요?

일단 실수 중에서 아무 거나 골라서 x라고 해 봅시다. 무한대는 그것보단 클 겁니다. 따라서 x<\infty입니다. 근데 아무 숫자나 골라도 다 되기 때문에, 우리는 모든 실수 x에 대해 x<\infty라고 할 수 있습니다. 굳이 이걸 기호를 써서 표현하자면,

    \[x<\infty\qquad\forall x\in\mathbb{N}\]

이라고 할 수 있습니다. 여기서 \mathbb{N}은 모든 실수의 집합이고, \forall x는 ‘모든 x에 대하여’라는 뜻입니다.

그럼 무한대는 실수일까요? 실수 x=\infty라고 가정해 보면, x는 실수이기 때문에 x<\infty이어야 될 겁니다. 근데 x=\infty였으니까 이걸 대입해 보면 \infty<\infty라는 모순이 발생하게 됩니다. 따라서 신기하게도 무한대는 실수가 아니라는 결론이 나옵니다. 이것은 우리가 일반적으로 알고 있는 사칙연산의 법칙들이 통하지 않는 이유이기도 합니다.

무한대의 연산

덧셈과 뺄셈

앞서 \infty는 실수가 아님을 증명했습니다. 그렇다고 복소수 같은 것도 아닐 겁니다. 실수나 복소수까지만 다뤄봤다면 생판 처음 보는 종류의, 어떻게 다뤄야 할 지 모르는 수가 등장한 겁니다.

그렇다면 무한대의 연산은 어떻게 정의하는 것이 좋을까요? 무한대의 정의를 다시 생각해 봅시다. 무한대는 무한히 큰 수입니다. 따라서 여기에다 실수 얼마를 더하거나 빼도 여전히 무한히 크기 때문에, 일단 \forall x\in\mathbb{N}에서

    \[\infty+x=\infty\]

    \[\infty-x=\infty\]

입니다. 그리고 x가 실수가 아니라 무한대일 때, \infty+\infty=\infty인 건 어차피 왼쪽(2\infty)도 오른쪽도 무한히 큰 수이기 때문에 당연합니다.

하지만 \infty-x=\infty에 의해, \infty-\infty=x가 됩니다. 즉, \infty-\infty는 어떤 실수든 될 수 있습니다. 이런 경우는 보통 ‘정의되지 않았다’고 합니다.

잘 이해가 되지 않는다면 0\div0=x의 경우를 생각해 보면 될 것 같습니다. 양 변에 0씩 ‘곱해’ 주면 0=x\times0인데, 이 경우도 모든 x에 대해 성립하기 때문에 ‘정의되지 않았다’고 합니다.

곱셈과 나눗셈

덧셈, 뺄셈과 같이 생각해 본다면 모든 실수 x > 0에 대해 다음이 성립합니다.

    \[\infty\times x=\infty\]

    \[\infty\div x=\infty\]

…그리고 만약 x < 0이라면,

    \[\infty\times x=-\infty\]

    \[\infty\div x=-\infty\]

이 될 것입니다.

이번에도 마찬가지로 \infty=\infty\times x에서 양 변을 \infty씩 ‘나눠’ 주면 \infty\div\infty=x가 되고, 따라서 \infty\div\infty도 모든 실수가 될 수 있습니다. 그래서 \infty\div\infty도 정의되지 않습니다.

그럼 마지막으로 \infty\times 0은 어떻게 될까요? 일단 \infty\times 0=x라고 하고 양 변에서 0을 ‘나눠’ 봅시다. 그러면 \infty=x\div 0이 됩니다. x\div0을 계산해 본다고 하면 얼마일까요?

a\div b=x를 ‘a에서 bx번 빼야 0이 된다’고 생각해 보면, x0이 아니라면 x에서 0을 아무리 유한히 빼도 0이 되진 않을 것 같습니다. 따라서 0을 무한 번 빼야 되고, x\div0=\infty가 됩니다. 이걸 위에 대입해 보면 \infty=\infty가 되어 모든 x에 대해 식이 성립하는 것을 알 수 있습니다. 결국 \infty\times0도 모든 실수가 될 수 있고, 무한대에 0을 곱하는 것도 정의가 안 됩니다.

물론 파라과이에서는 0이 될지도 모르겠습니다.

2 thoughts on “무한대를 0과 곱하면 어떻게 될까”

  1. 무한대에 0을 곱하는 것이 정의가 안된다는 말이 잘 이해가 가지를 않네요.

    제가 아는 수학 지식에서, 0과 어떤 수의 곱은 무조건 0이 된다고 알고 있습니다.

    글쓴이 분께서 말씀하신 것은, 아마 0(무한소)와 무한대의 곱이 정의가 되지 않는다고 말씀하신 것이 아닌지, 조심스럽게 글 남겨봅니다.

    1. 답글이 늦어서 죄송합니다. 맞습니다 0과 어떤 수의 곱은 항상 0입니다. 그렇지만 무한대는 그 ‘어떤 수'(적어도 실수나 복소수 등)의 범주에 포함되지 않습니다. 글에서는 편의상 ‘무한히 큰 수’라고 언급했지만 무한대는 정확히는 수가 아니라 개념일 뿐이에요!

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *